Mathematica 10.0 综合教程

Mathematica 10.0 是一个里程碑式的版本，它引入了大量新功能，尤其是在数据科学、机器学习和几何计算领域,本教程将分为以下几个部分：

1. 第一部分：Mathematica 基础 - 了解核心概念和工作流。
2. 第二部分：核心语法与函数 - 掌握 Wolfram Language 的基本用法。
3. 第三部分：Mathematica 10.0 新特性详解 - 重点介绍 10.0 的亮点功能。
4. 第四部分：实用技巧与最佳实践 - 提升使用效率。
5. 第五部分：学习资源与总结 - 指引您进一步学习。

第一部分：Mathematica 基础

1 什么是 Mathematica？

Mathematica 不仅仅是一个计算器，它是一个集成化的计算环境，由 Wolfram Research 公司开发，其核心是 Wolfram Language，一种用于符号计算、数值计算、数据可视化、机器学习和更多领域的通用语言。

2 两个核心界面：Notebook 与 Wolfram|Alpha

在 Mathematica 10.0 中,你主要会与两种界面交互：

• Notebook (笔记本): 这是你进行大部分工作的场所，它由一系列单元组成,单元可以是：

  • 输入单元: 你输入代码的地方。
  • 输出单元: Mathematica 显示计算结果的地方。
  • 文本单元: 用于撰写说明、标题和报告。
  • 代码单元: 专门用于输入代码。
  • 单元可以独立执行，也可以组合成一个完整的计算文档。

• Wolfram|Alpha 集成: 10.0 版本极大地增强了与 Wolfram|Alpha 的集成，你可以在输入单元中直接用自然语言提问，比如输入 plot sin(x)，它会自动生成绘图,这是快速获取信息和验证想法的强大工具。

  
  （图片来源网络，侵删）

3 第一个计算：Shift + Enter

这是在 Mathematica 中执行代码的唯一方式，在任何输入单元中输入表达式，然后按下 Shift + Enter（或 Shift + Return），Mathematica 就会计算它并显示结果。

示例： 在输入单元中输入：

2 + 2

然后按下 Shift + Enter,你会看到输出单元显示：

4

第二部分：核心语法与函数

1 基本语法规则

• 函数调用: 函数名后跟方括号 []，参数放在括号内。这是 Mathematica 与其他语言（如 Python/C++）最大的区别之一。
  • Sin[Pi] (正确)
  • sin(pi) (错误，Pi 需要大写,函数和常量首字母通常大写)
• 列表: 使用花括号 表示，是 Mathematica 中最核心的数据结构。
  • {1, 2, 3, a, b}
• 赋值: 使用 (立即赋值) 或 (延迟赋值，函数定义常用)。
  • x = 5 立即将 5 赋给 x。
  • f[x_] := x^2 定义一个函数 f，当调用时才计算 x^2。
• 注释: 使用 。
  • (* 这是一个注释 *)

2 常用函数与操作

第三部分：Mathematica 10.0 新特性详解

Mathematica 10.0 引入了许多激动人心的新功能,以下是其中最核心的几个：

1 机器学习与数据科学

这是 10.0 版本最显著的进步，内置了完整的机器学习框架,无需安装额外库。

• Classify 函数:

  • 功能: 自动训练分类器，你只需要提供一组数据和它们对应的标签，Classify 就会为你选择并训练一个合适的模型。

  • 示例: 假设我们有一些数据，判断它是“苹果”还是“橙子”。

    (* 创建一些示例数据 *)
    trainingData = {
        {1.1, 3.5, "Apple"}, {1.3, 3.8, "Apple"}, {3.5, 1.2, "Orange"},
        {3.8, 1.5, "Orange"}, {2.2, 2.8, "Apple"}, {3.1, 1.9, "Orange"}
    };
    (* 训练一个分类器 *)
    appleOrangeClassifier = Classify[trainingData];
    (* 使用分类器预测新数据 *)
    appleOrangeClassifier[{2.5, 3.0}]
    (* 可能输出: Apple *)

• Predict 函数:

  • 功能: 自动训练回归模型,用于预测连续值。
  • 示例: 根据房子的面积预测价格。

    houseData = <|"Area" -> {120, 150, 80, 200}, "Price" -> {150, 180, 100, 220}|>;
    pricePredictor = Predict[houseData, "Price" -> "Area"];
    pricePredictor[160] (* 预测面积为160的房子价格 *)

• ClusterClassify 函数:

  • 功能: 对无标签数据进行聚类分析,将相似的数据点自动分组。

2 几何计算

引入了全新的 GeometricScene 和 RandomGeometricScene,用于创建和求解几何问题。

• GeometricScene:

  • 功能: 通过描述点、线、圆及其关系（如平行、垂直、距离）来定义一个几何场景，然后让 Mathematica 自动证明其性质或求解未知量。

  • 示例: 求解一个三角形中的未知角度。

    scene = GeometricScene[
        {A, B, C}, (* 三个顶点 *)
        {
            Triangle[{A, B, C}], (* 定义ABC是一个三角形 *)
            PlanarAngle[A] == 90 Degree, (* 角A是直角 *)
            PlanarAngle[B] == 30 Degree, (* 角B是30度 *)
            EuclideanDistance[A, B] == 10 (* AB边长为10 *)
        }
    ];
    (* 求解所有几何量 *)
    sol = RandomInstance[scene];
    sol["Points"] (* 显示所有点的坐标 *)
    sol["Angles"] (* 显示所有角度 *)

3 图形与可视化

• Association (关联列表):

  • 功能: 10.0 引入的 Association 是一种强大的键值对数据结构，类似于 Python 的字典或 Java 的 Map,它极大地优化了数据处理和可视化。
  • 语法: <|"key1" -> value1, "key2" -> value2|>
  • 示例:

    data = <|"Apples" -> 10, "Oranges" -> 15, "Bananas" -> 9|>;
    data["Apples"] (* 提取值，输出: 10 *)

• 新的绘图函数 Dataset:

  • 功能: Dataset 提供了一个交互式界面来探索和处理 List 或 Association 数据，你可以像操作 Excel 表格一样进行筛选、排序和分组。
  • 示例:

    data = Dataset[<|"Name" -> "Alice", "Age" -> 25|>, <|"Name" -> "Bob", "Age" -> 30|>];
    data[Select[#Age > 26 &]] (* 筛选年龄大于26的人 *)

• GeoGraphics:

  • 功能: 强大的地理信息可视化工具，可以在地图上绘制点、线、区域等。
  • 示例:

    GeoGraphics[{GeoMarker["Paris"], GeoMarker["Berlin"]}]

4 其他重要更新

• 单位系统: Quantity 函数得到全面增强，可以无缝进行带单位的计算。

  Quantity[5, "Meters"] + Quantity[200, "Centimeters"]
  (* 输出: 7 m *)

• 日期和时间: DateObject 和相关函数提供了更强大的日期处理能力。
• 图像处理: 增强了图像识别和处理功能。

第四部分：实用技巧与最佳实践

1 获取帮助

• ?f: 查看函数 f 的基本信息。
• ??f: 查看函数 f 的详细信息,包括选项和属性。
• 按 F1 键：打开帮助中心，可以搜索函数、教程和参考资料。
• 使用 Manipulate 函数创建交互式控件，动态探索参数变化对结果的影响。

  Manipulate[Plot[Sin[a x], {x, 0, 2 Pi}], {a, 1, 5}]

2 代码组织

• 使用 Module 或 Block 来创建局部变量，避免全局变量污染。

  Module[{x, y}, (* x和y只在Module内部有效 *)
      x = 5;
      y = x + 3;
      y
  ]

3 性能提示

• 列表操作优先: 尽量使用 Mathematica 内置的列表操作函数（如 Map, Apply, Select），而不是用 For 或 While 循环逐个处理元素,这通常快几个数量级。
• 数值计算: 对于大规模数值计算，确保使用机器精度（如 N[Pi] 而不是 Pi）,速度会快很多。

第五部分：学习资源与总结

1 Mathematica 10.0 的官方资源

• Wolfram Documentation Center: 这是最权威、最全面的资源，你可以通过软件内的帮助中心或在线访问，它包含了所有函数的详细说明、示例和教程。
  • 链接: Wolfram Documentation
• Wolfram Demonstrations Project: 一个由全球用户贡献的、成千上万的交互式示例库，是学习函数应用和创意的绝佳去处。
  • 链接: Wolfram Demonstrations Project
• The Mathematica Book (旧版): 虽然针对旧版本,但其基础概念和哲学至今仍然适用。

Mathematica 10.0 是一个功能极其强大的工具，其核心在于符号计算能力和Wolfram Language 的统一性，从简单的代数运算到复杂的机器学习模型,它都能胜任。

学习建议:

1. 从交互式 Notebook 开始: 不要害怕犯错，Shift + Enter 是你最好的朋友。
2. 掌握核心数据结构: 理解 List 和 Association 是高效使用 Mathematica 的关键。
3. 善用自然语言输入: 利用 Wolfram|Alpha 集成快速入门和验证。
4. 专注于问题而非语法: 先想清楚你要解决什么问题,然后去查文档找到合适的函数。

希望这份教程能帮助你顺利开启 Mathematica 10.0 的学习之旅！祝您计算愉快！